2012-№1(34) Статья 17

Назиев Э.Х., Назиев А.Х., Келейникова Г.И.

Об однородных линейных дифференциальных системах с постоянными коэффициентами и полной проблеме собственных значений (часть 2).C. 167- 210

УДК 517.925

Известно, что нахождение решений однородной линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей A сводится к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой формы J матрицы A и определения матрицы Р такой, что J = P^-1AP. Нахождение матрицы J опирается на теорию элементарных делителей характеристической матрицы А – Е, что приводит к так называемой полной проблеме собственных значений, состоящей в нахождении всех собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы А. Решение этой проблемы даже в случаях систем не очень высоких порядков сопряжено со значительными трудностями, возникающими уже на стадии получения характеристического уравнения путем развертывания определителя характеристической матрицы. В 1969 году Р. Беллман [1] писал, что “в настоящее время не имеется простых методов нахождения собственных значений и собственных векторов матриц большого размера”. За минувшие с тех пор тридцать лет существенных изменений не произошло. В настоящей работе мы пытаемся продвинуться в решении указанной проблемы, изменив обычный порядок действий. Обычно сначала ищут собственные значения, затем – собственные векторы. Мы идём в обратном направлении.

В первой части были изложены общие результаты. Вторая часть посвящена подробному рассмотрению примеров.

однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, полная проблема собственных значений, однородная линейная группа, инфинитезимальный оператор, однопараметрическая подгруппа.

Библиография:

1. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст]. – М.: Наука, 1967. – 575 с.

2. Гюнтер, Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных произ-водных [Текст]. – Л.; М.: ГТТИ, 1934. – 359 с.

3. Данилина, Н.И. Численные методы [Текст] / Н.И. Данилина [и др.]. – М.: Выс-шая школа, 1976. – 368 с.

4. Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия [Текст] / Н.В. Ефи-мов, Э.Р. Розендорн. – М.: Наука, 1970. – 527 с.

5. Назиев, Э.Х. Фазовые портреты однородных динамических систем второго по-рядка [Текст]. – Киев, 1991. – 34 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 30.10.91, №1429-Ук 91.

6. Эйзенхарт, Л.П. Непрерывные группы преобразований [Текст]. – М.: ГИИЛ, 1947. – 359 с.